jika x dan y bilangan bulat positif yang memenuhi 2x + 3y ≤ 6, maka nilai terbesar dari x - 6y adalah ?

Kelas : XII (3 SMA)
Materi : Program Linear
Kata Kunci : nilai optimum
Pembahasan :
Mari kita bahas pengertian program linear beserta nilai optimum fungsi tujuan dengan menggunakan metode uji titik pojok.
Program linear adalah suatu cara untuk memecahkan suatu persoalan tertentu dimana model matematika terdiri atas pertidaksamaan-pertidaksamaan linear yang mempunyai banyak penyelesaian. Dari semua hasil yang mungkin, satu atau lebih memberikan hasil yang paling baik (penyelesaian optimal).
Masalah program linear berhubungan dengan penentuan nilai maksimum dan minimum dari fungsi f(x, y) = ax + by yang dinamakan fungsi objektif terhadap suatu poligon yang merupakan daerah penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel termasuk persyaratan variabel-variabel yang tidak negatif (x ≥ 0 dan y ≥ 0).
Setiap titik dalam poligon dinamakan penyelesaian yang mungkin dari masalah. Suatu titik dalam poligon dimana f mencapai nilai maksimum atau minimum dinamakan penyelesaian optimum.
Nilai optimum (nilai maksimum atau minimum) dari fungsi tujuan f(x, y) = ax + by dapat ditentukan dengan menggunakan metode grafik yang meliputi metode uji titik pojok dan garis selidik.

Mari kita lihat soal tersebut.
Sayang soal belum lengkap. Seharusnya sistem terdiri dari 2 atau lebih pertidaksamaan linear. Kemungkinan soalnya sebagai berikut.
Diketahui sistem pertidaksamaan linear
2x + 3y ≤ 6
3x + 2y ≤ 6
x ≥ 0
y ≥ 0

Perhatikan gambar terlampir.
Kita ubah dahulu pertidaksamaan linear tersebut menjadi persamaan linear.
Koordinat titik potong
2x + 3y = 6
3x + 2y = 6
dapat ditentukan sebagai berikut.
2x + 3y = 6   |.3|
3x + 2y = 6   |.2|

6x + 9y = 18
6x + 4y = 12
___________-
⇔ 5y = 6
⇔ y = 6/5

Kita substitusikan titik y = 6/5 ke persamaan 
2x + 3y = 6
⇔ 2x = 6 - 3y
⇔ 2x = 6 - 3 . 6/5
⇔ 2x = 6 - 18/5
⇔ 2x = 30/5 - 18/5
⇔ 2x = 12/5
⇔ x = 12/10
⇔ x = 6/5
Jadi, koordinat titik potongnya adalah (6/5, 6/5).
Kemudian, kita memperoleh titik-titik pojok (0, 2), (6/5, 6/5), (2, 0). Titik-titik tersebut kita substitusikan ke fungsi f(x, y) = x - 6y, diperoleh
f(0, 2) → 0 - 6.2 = -12
f(6/5, 6/5) → 6/5 - 6.(6/5) = 6/5 - 36/5 = -30/5 = -6
f(2, 0) → 2 - 6.0 = 2

Jadi, untuk f(x, y) = x - 6y nilai minimumnya adalah -12 dan nilai maksimumnya adalah 2.

Semangat!